Probabilidade e combinatória: contagem, permutação e combinação

A combinatória conta de quantas maneiras algo pode acontecer; a probabilidade mede a chance de um evento ocorrer. Os dois andam juntos, porque calcular probabilidade quase sempre exige contar casos favoráveis e casos possíveis.

Conceitos essenciais

Princípio fundamental da contagem

Se uma decisão pode ser tomada de m maneiras e outra, independente, de n maneiras, então juntas podem ocorrer de m × n maneiras. É a base de toda a combinatória — muitas questões se resolvem só com ele.

Permutação

Permutação conta de quantas formas podemos ORDENAR n elementos distintos: são n! (n fatorial) maneiras. Use quando a ordem importa, como em filas e senhas.

Combinação

Combinação conta de quantas formas podemos ESCOLHER p elementos entre n, sem que a ordem importe. Use em sorteios, comissões e jogos como a Mega-Sena, em que a ordem dos números não conta.

Probabilidade

A probabilidade de um evento é a razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis (quando todos são igualmente prováveis). O resultado vai de 0 (impossível) a 1 (certo).

Fórmulas-chave

  • Princípio da contagem: total = m × n
  • Permutação: Pₙ = n!
  • Combinação: C(n, p) = n! / [ p! · (n − p)! ]
  • Probabilidade: P(A) = casos favoráveis / casos possíveis

Exemplos resolvidos

Enunciado 1. Ao lançar um dado comum, qual a probabilidade de sair um número par?

Resolução. Casos possíveis: 6 (faces de 1 a 6). Casos favoráveis (pares): 2, 4 e 6, ou seja, 3. Então P = 3/6 = 1/2 = 50%.

Enunciado 2. De quantas formas 3 amigos podem se sentar em 3 cadeiras em fila?

Resolução. A ordem importa (cada arrumação é diferente), então é permutação: P₃ = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 formas.

Enunciado 3. Uma comissão de 2 pessoas será escolhida entre 4 candidatos. Quantas comissões diferentes são possíveis?

Resolução. A ordem não importa (a comissão {A, B} é igual a {B, A}), então é combinação: C(4, 2) = 4! / [2! · 2!] = 24 / 4 = 6 comissões.

Erros comuns

  • Contar errado os casos possíveis ou favoráveis — origem da maioria dos erros em probabilidade.
  • Usar permutação/arranjo quando a ordem não importa (deveria ser combinação) e vice-versa.
  • Somar probabilidades de eventos que deveriam ser multiplicados (eventos sucessivos e independentes se multiplicam).

Onde cai nas provas

É um dos temas mais cobrados do ENEM. Aparece em sorteios, jogos, controle de qualidade e genética. Distinguir "ordem importa" (permutação) de "ordem não importa" (combinação) é o que mais derruba candidatos.

Perguntas frequentes

Como sei se uso permutação ou combinação?

Pergunte se trocar a ordem gera um resultado diferente. Se sim (senhas, filas, pódio), é permutação/arranjo. Se não (comissões, sorteios de números), é combinação.

Probabilidade pode ser maior que 1?

Não. Toda probabilidade fica entre 0 e 1 (ou entre 0% e 100%). Se você chegou a um valor maior que 1, há erro na contagem dos casos.

Qual a diferença entre arranjo e combinação?

Nos dois você escolhe p elementos entre n. No arranjo a ordem importa (trocar a ordem gera um caso novo); na combinação, não. Por isso o arranjo sempre dá um número maior ou igual ao da combinação.

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