Aritmética: frações, porcentagem, razão e regra de três

A aritmética é a base de toda a matemática de prova: se você domina frações, porcentagem e proporção, resolve boa parte das questões de raciocínio do ENEM, de vestibulares e de concursos sem precisar de fórmulas avançadas. É também o tópico que mais aparece disfarçado em problemas do dia a dia.

Conceitos essenciais

Frações e decimais

Uma fração representa uma parte de um todo. Para somar ou subtrair frações você precisa de denominadores iguais (MMC); para multiplicar, basta multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador. Todo decimal finito ou periódico pode ser escrito como fração — e vice-versa.

Porcentagem

Porcentagem é uma fração de denominador 100. Calcular x% de um valor é multiplicar esse valor por x/100. Aumentos e descontos sucessivos NÃO se somam: um aumento de 10% seguido de outro de 10% equivale a multiplicar por 1,10 × 1,10 = 1,21, ou seja, 21% no total.

Razão e proporção

Razão é a comparação entre duas grandezas por divisão. Proporção é a igualdade entre duas razões. A propriedade fundamental diz que, em a/b = c/d, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: a·d = b·c. É a chave para resolver quase tudo que envolve "para cada".

Regra de três

A regra de três aplica a proporção a um valor desconhecido. Na regra de três simples direta, as grandezas crescem juntas; na inversa, quando uma cresce a outra diminui (e você inverte uma das razões antes de multiplicar cruzado).

Fórmulas-chave

  • x% de V = (x / 100) · V
  • Proporção: a/b = c/d ⇔ a·d = b·c
  • Regra de três (direta): a/b = c/x ⇒ x = (b·c) / a
  • Fator de aumento de p%: multiplicar por (1 + p/100)
  • Fator de desconto de p%: multiplicar por (1 − p/100)

Exemplos resolvidos

Enunciado 1. Uma blusa custa R$ 80,00 e está com 15% de desconto. Qual é o preço final?

Resolução. Desconto de 15% equivale a multiplicar por (1 − 0,15) = 0,85. Logo, 80 × 0,85 = R$ 68,00. (Conferindo: 15% de 80 é 12; 80 − 12 = 68.)

Enunciado 2. Um produto teve um aumento de 20% e, na semana seguinte, um desconto de 20%. O preço final é igual ao inicial?

Resolução. Não. Multiplicamos os fatores: 1,20 × 0,80 = 0,96. O produto fica 4% mais barato que o preço original, porque o desconto de 20% incide sobre um valor já maior. Aumentos e descontos sucessivos nunca se cancelam.

Enunciado 3. Se 5 operários levantam um muro em 12 dias, quantos dias levam 8 operários, no mesmo ritmo?

Resolução. Grandezas inversamente proporcionais (mais operários, menos dias): inverte-se uma razão. 5 × 12 = 8 × x, logo x = 60/8 = 7,5 dias.

Erros comuns

  • Somar aumentos e descontos sucessivos (10% + 10% = 20%) em vez de multiplicar os fatores (1,10 × 1,10 = 1,21).
  • Confundir "aumentou 50%" (multiplicar por 1,5) com "passou a ser 50%" (multiplicar por 0,5).
  • Na regra de três inversa, multiplicar cruzado direto sem antes inverter uma das razões.

Onde cai nas provas

Aritmética é o tópico mais frequente do ENEM e de concursos de nível médio. Aparece em questões de finanças pessoais, descontos, juros simples, escalas de mapas, receitas e em todo problema que começa com "para cada".

Perguntas frequentes

Dois descontos de 10% dão 20% de desconto?

Não. Descontos sucessivos se multiplicam: 0,90 × 0,90 = 0,81, ou seja, 19% de desconto no total — não 20%.

Quando uso regra de três inversa?

Quando as grandezas são inversamente proporcionais: mais operários terminam a obra em menos tempo, mais velocidade gasta menos tempo no mesmo trajeto. Nesses casos você inverte uma das razões antes de multiplicar cruzado.

Como transformo uma fração em porcentagem?

Divida o numerador pelo denominador e multiplique por 100. Por exemplo, 3/4 = 0,75 = 75%. O caminho inverso também vale: 40% = 40/100 = 2/5.

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