Geometria plana: áreas, Teorema de Pitágoras e ângulos

A geometria plana cobra cálculo de áreas, perímetros e relações em triângulos. É um tópico visual: na maioria das questões, fazer um bom desenho já mostra o caminho da resolução.

Conceitos essenciais

Áreas das principais figuras

Retângulo: base × altura. Triângulo: (base × altura)/2. Círculo: π·r². Saber decompor uma figura complexa em retângulos e triângulos resolve quase toda questão de área.

Teorema de Pitágoras

Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. É a relação mais usada da geometria e aparece também em geometria analítica (cálculo de distâncias).

Ângulos

A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°. Ângulos opostos pelo vértice são iguais; ângulos formados por uma reta transversal a duas paralelas geram pares de ângulos iguais (correspondentes e alternos).

Circunferência

O comprimento de uma circunferência de raio r é 2πr. Compreender a relação entre raio, diâmetro e comprimento é essencial em problemas de rodas, pistas e setores circulares.

Fórmulas-chave

  • Área do retângulo = base × altura
  • Área do triângulo = (base × altura) / 2
  • Área do círculo = π · r²
  • Comprimento da circunferência = 2 · π · r
  • Pitágoras: hipotenusa² = cateto₁² + cateto₂²

Exemplos resolvidos

Enunciado 1. Um triângulo retângulo tem catetos de 3 cm e 4 cm. Qual é a hipotenusa e qual é a área?

Resolução. Hipotenusa: h² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, logo h = 5 cm. Área: (3 × 4)/2 = 6 cm². (O trio 3-4-5 é o triângulo pitagórico mais cobrado em provas.)

Enunciado 2. Qual é a área de um círculo de raio 5 cm? (use π = 3,14)

Resolução. Área = π · r² = 3,14 × 5² = 3,14 × 25 = 78,5 cm². Atenção: usa-se o raio ao quadrado, não o diâmetro.

Enunciado 3. Um terreno em forma de "L" é formado por um retângulo de 10 m × 6 m com um quadrado de 4 m × 4 m recortado em um canto. Qual a área?

Resolução. Calcule o retângulo cheio e subtraia o recorte: 10 × 6 = 60 m²; 4 × 4 = 16 m²; área = 60 − 16 = 44 m². Decompor e subtrair resolve quase toda figura "estranha".

Erros comuns

  • Usar o diâmetro no lugar do raio na área do círculo (a fórmula é A = π·r², não π·d²).
  • Esquecer de dividir por 2 na área do triângulo.
  • Misturar unidades (somar medidas em cm com medidas em m) sem converter tudo para a mesma unidade antes.

Onde cai nas provas

Geometria plana é certeza no ENEM: áreas de terrenos, plantas de casas, embalagens e desperdício de material. Pitágoras aparece tanto sozinho quanto dentro de trigonometria e geometria analítica.

Perguntas frequentes

Qual valor de π usar na prova?

O enunciado quase sempre informa qual aproximação usar (geralmente 3,14). Se não informar, deixe a resposta em função de π.

Como acho a área de uma figura "estranha"?

Decomponha-a em figuras conhecidas (retângulos, triângulos, semicírculos), calcule a área de cada uma e some — ou subtraia, no caso de "buracos".

Qual a diferença entre área e perímetro?

O perímetro é o comprimento do contorno da figura (medido em cm, m...). A área é o tamanho da superfície que ela ocupa (medida em unidades quadradas: cm², m²...).

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