Álgebra: equações de 1º e 2º grau, sistemas e Bhaskara

Q: O que significa o Δ ser negativo?

Significa que a equação não tem raízes reais — a parábola correspondente não cruza o eixo x. As raízes existem apenas no conjunto dos números complexos.

Q: Preciso decorar Bhaskara?

Sim, é a fórmula mais cobrada da álgebra. Mas, para raízes inteiras simples, soma e produto costumam ser mais rápidos do que aplicar a fórmula inteira.

Q: Toda equação do 2º grau tem duas raízes?

Depende do discriminante. Se Δ > 0 há duas raízes reais distintas; se Δ = 0 há uma raiz dupla (uma só); se Δ < 0 não há raiz real.

A álgebra transforma um problema em palavras numa equação que você consegue resolver. Dominar equações do 1º e do 2º grau e sistemas lineares destrava grande parte das questões de matemática — e é pré-requisito para entender funções.

Conceitos essenciais

Equação do 1º grau

Toda equação do tipo ax + b = 0 (com a ≠ 0) tem exatamente uma solução: x = −b/a. A estratégia é sempre isolar a incógnita, fazendo a mesma operação nos dois lados da igualdade.

Equação do 2º grau

Uma equação ax² + bx + c = 0 é resolvida pela fórmula de Bhaskara. O discriminante Δ = b² − 4ac decide quantas raízes reais existem: Δ > 0 dá duas raízes, Δ = 0 dá uma raiz dupla e Δ < 0 não tem raiz real.

Soma e produto das raízes

Sem calcular Bhaskara, você já sabe que a soma das raízes é −b/a e o produto é c/a. Isso permite "adivinhar" raízes inteiras e conferir respostas rapidamente.

Sistemas lineares

Um sistema de duas equações com duas incógnitas pode ser resolvido por substituição ou por adição. Geometricamente, cada equação é uma reta, e a solução é o ponto onde elas se cruzam.

Fórmulas-chave

1º grau: ax + b = 0 ⇒ x = −b / a
Discriminante: Δ = b² − 4ac
Bhaskara: x = (−b ± √Δ) / (2a)
Soma das raízes: x₁ + x₂ = −b/a
Produto das raízes: x₁ · x₂ = c/a

Exemplos resolvidos

Enunciado 1. Resolva a equação x² − 5x + 6 = 0.

Resolução. Aqui a = 1, b = −5, c = 6. Δ = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1. Como √Δ = 1, temos x = (5 ± 1)/2, ou seja, x = 3 ou x = 2. (Conferindo pela soma e produto: 3 + 2 = 5 = −b/a e 3 · 2 = 6 = c/a.)

Enunciado 2. Ache as raízes de x² − 7x + 12 = 0 sem usar Bhaskara.

Resolução. Pela soma e produto: x₁ + x₂ = −b/a = 7 e x₁ · x₂ = c/a = 12. Procuramos dois números que somam 7 e multiplicam 12 → são 3 e 4. As raízes são x = 3 e x = 4, sem precisar do discriminante.

Enunciado 3. Resolva o sistema { x + y = 10 ; x − y = 4 } por adição.

Resolução. Somando as duas equações, o y se cancela: 2x = 14, logo x = 7. Substituindo em x + y = 10: y = 3. Solução: (x, y) = (7, 3).

Erros comuns

Aplicar Bhaskara sem antes deixar a equação na forma ax² + bx + c = 0 (igualar a zero primeiro).
Errar o sinal na soma das raízes: é −b/a, e não b/a.
Ao resolver x² = x, dividir os dois lados por x e perder a raiz x = 0; o correto é passar tudo para um lado: x² − x = 0.

Onde cai nas provas

Equações do 2º grau e sistemas aparecem todo ano no ENEM e em vestibulares, muitas vezes escondidos em problemas de área, movimento e otimização. É também a base para funções quadráticas.

Perguntas frequentes

O que significa o Δ ser negativo?

Significa que a equação não tem raízes reais — a parábola correspondente não cruza o eixo x. As raízes existem apenas no conjunto dos números complexos.

Preciso decorar Bhaskara?

Sim, é a fórmula mais cobrada da álgebra. Mas, para raízes inteiras simples, soma e produto costumam ser mais rápidos do que aplicar a fórmula inteira.

Toda equação do 2º grau tem duas raízes?

Depende do discriminante. Se Δ > 0 há duas raízes reais distintas; se Δ = 0 há uma raiz dupla (uma só); se Δ < 0 não há raiz real.

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